Κωδικός
Φ-113
Επίπεδο
Προπτυχιακό
Κατηγορία
Α
Διδάσκων
Γ. Χ. Ψαλτάκης
ECTS
7
Ώρες
2
Εξάμηνο
Εαρινό
Ανοικτό
Ναι
Προσφέρεται
Ναι
Ιστοσελίδα Διδάσκοντα
Ιστοσελίδα Μαθήματος
Σκοπός Μαθήματος
Το μάθημα απευθύνεται στους πρωτοετείς φοιτητές και αποτελεί μια εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς και τη Γραμμική Άλγεβρα, δηλ. σε έννοιες και μεθόδους των Μαθηματικών τις οποίες χρησιμοποιεί η σύγχρονη Φυσική. Δίνεται έμφαση στη μελέτη των διανυσματικών χώρων Rn και Cn, τη χρήση αλλά και τη βαθύτερη κατανόηση των πινάκων, των οριζουσών, των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων.
Κατά το εαρινό εξάμηνο το μάθημα προσφέρεται με τη μορφή αυτομελέτης και μίας δίωρης διάλεξης την εβδομάδα για τους φοιτητές οι οποίοι δεν το πέρασαν στο χειμερινό εξάμηνο. Δίνεται έμφαση σε γρήγορη επανάληψη της θεωρίας και στη λύση ασκήσεων.
Κατά το εαρινό εξάμηνο το μάθημα προσφέρεται με τη μορφή αυτομελέτης και μίας δίωρης διάλεξης την εβδομάδα για τους φοιτητές οι οποίοι δεν το πέρασαν στο χειμερινό εξάμηνο. Δίνεται έμφαση σε γρήγορη επανάληψη της θεωρίας και στη λύση ασκήσεων.
Πρόγραμμα
Παρασκευή 13:00-15:00, Αίθουσα 3
Διδακτέα Ύλη
Μιγαδικοί αριθμοί: Ορισμός. Αλγεβρικές ιδιότητες. Η γεωμετρική παράσταση, το μέτρο, και o συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού. Η τριγωνική ανισότητα. Η πολική μορφή: όρισμα και πρωτεύουσα τιμή του ορίσματος ενός μιγαδικού αριθμού. Η εκθετική μορφή: τύπος του Euler. Δυνάμεις και ρίζες: τύπος του de Moivre.
Πίνακες και απαλοιφή Gauss. Η γεωμετρία των γραμμικών εξισώσεων. Παράδειγμα απαλοιφής Gauss. Συμβολισμός πινάκων και πολλαπλασιασμός πινάκων. Τριγωνικοί παράγοντες και εναλλαγές γραμμών: παραγοντοποίηση LU. Αντίστροφοι πίνακες και ανάστροφοι πίνακες.
Διανυσματικοί χώροι και γραμμικές εξισώσεις. Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι. Απαλοιφή σε γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους: οι λύσεις της Ax=0 και οι λύσεις της Ax=b. Γραμμική ανεξαρτησία, βάση, και διάσταση. Οι τέσσερις θεμελιώδεις υπόχωροι. Πίνακες και γραμμικές απεικονίσεις (γραμμικοί μετασχηματισμοί).
Ορθογωνιότητα. Ορθογώνια διανύσματα και ορθογώνιοι υπόχωροι. Εσωτερικά γινόμενα και προβολές σε ευθείες. Προβολές και οι βέλτιστες λύσεις ελαχίστων τετραγώνων της Ax=b. Ορθογώνιες βάσεις, ορθογώνιοι πίνακες, και η ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt.
Ορίζουσες. Ιδιότητες της ορίζουσας. Τύποι για την ορίζουσα. Εφαρμογές των οριζουσών: υπολογισμός του αντιστρόφου πίνακα, κανόνας του Cramer, όγκος ενός n-διάστατου παραλληλεπιπέδου, ένας τύπος για τους οδηγούς.
Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. Οι λύσεις της Ax=λx. Διαγωνιοποίηση ενός πίνακα. Μιγαδικοί πίνακες: συμμετρικοί έναντι Ερμιτιανών, και ορθογώνιοι έναντι μοναδιαίων. Μετασχηματισμοί ομοιότητας.
Πίνακες και απαλοιφή Gauss. Η γεωμετρία των γραμμικών εξισώσεων. Παράδειγμα απαλοιφής Gauss. Συμβολισμός πινάκων και πολλαπλασιασμός πινάκων. Τριγωνικοί παράγοντες και εναλλαγές γραμμών: παραγοντοποίηση LU. Αντίστροφοι πίνακες και ανάστροφοι πίνακες.
Διανυσματικοί χώροι και γραμμικές εξισώσεις. Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι. Απαλοιφή σε γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους: οι λύσεις της Ax=0 και οι λύσεις της Ax=b. Γραμμική ανεξαρτησία, βάση, και διάσταση. Οι τέσσερις θεμελιώδεις υπόχωροι. Πίνακες και γραμμικές απεικονίσεις (γραμμικοί μετασχηματισμοί).
Ορθογωνιότητα. Ορθογώνια διανύσματα και ορθογώνιοι υπόχωροι. Εσωτερικά γινόμενα και προβολές σε ευθείες. Προβολές και οι βέλτιστες λύσεις ελαχίστων τετραγώνων της Ax=b. Ορθογώνιες βάσεις, ορθογώνιοι πίνακες, και η ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt.
Ορίζουσες. Ιδιότητες της ορίζουσας. Τύποι για την ορίζουσα. Εφαρμογές των οριζουσών: υπολογισμός του αντιστρόφου πίνακα, κανόνας του Cramer, όγκος ενός n-διάστατου παραλληλεπιπέδου, ένας τύπος για τους οδηγούς.
Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. Οι λύσεις της Ax=λx. Διαγωνιοποίηση ενός πίνακα. Μιγαδικοί πίνακες: συμμετρικοί έναντι Ερμιτιανών, και ορθογώνιοι έναντι μοναδιαίων. Μετασχηματισμοί ομοιότητας.
Βιβλιογραφία
1. G. Strang, Γραµµική Αλγεβρα και Εφαρµογές. (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2008). Κεφ. 1,2,3,4,5 (χωρίς τα 2.5, 3.5, 5.4)
2. R. V. Churchill και J. W. Brown, ``Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρμογές'' (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2001). Κεφάλαιο 1.
2. R. V. Churchill και J. W. Brown, ``Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρμογές'' (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2001). Κεφάλαιο 1.
