Κωδικός
Φ-212
Επίπεδο
Προπτυχιακό
Κατηγορία
Α
Διδάσκων
Η. Κυρίτσης
ECTS
7
Ώρες
6
Εξάμηνο
Εαρινό
Ανοικτό
Ναι
Προσφέρεται
Ναι
Ιστοσελίδα Διδάσκοντα
Ιστοσελίδα Μαθήματος
Σκοπός Μαθήματος
Το µάθηµα απευθύνεται σε δευτεροετείς φοιτητές και αποτελεί συνέχεια και επέκταση του µαθήµατος των συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Πραγµατεύεται διαφορικές εξισώσεις µε µερικές παραγώγους όπως αυτές εµφανίζονται κυρίως σε κλασσικά προβλήµατα συνοριακών συνθηκών της Φυσικής. Εισάγονται και χρησιµοποιούνται οι έννοιες του προβλήµατος ιδιοτιµών, των σειρών και του µετασχηµατισµού Fourier, των ειδικών συναρτήσεων Legendre και Bessel, των συναρτήσεων Green.
Πρόγραμμα
Δευτέρα 11:00-13:00, Αίθουσα 3
Τετάρτη 9:00-11:00, Αίθουσα 3
Πέμπτη 9:00-11:00, Αίθουσα 3
Παρασκευή 14:00-16:00, Αμφιθέατρο Ξ/Π
Τετάρτη 9:00-11:00, Αίθουσα 3
Πέμπτη 9:00-11:00, Αίθουσα 3
Παρασκευή 14:00-16:00, Αμφιθέατρο Ξ/Π
Διδακτέα Ύλη
1. Μερικές διαφορικές εξισώσεις χωριζόµενων µεταβλητών. Μερικές διαφορικές εξισώσεις χωριζόµενων µεταβλητών. Οι εξισώσεις κύµατος, Laplace και θερµότητας. Αρχικές και συνοριακές συνθήκες που οδηγούν σε µοναδική λύση. Το παράδειγµα της ταλαντευόµενης χορδής. (2 εβδομάδες)
2. Θεωρία Sturm-Liouville, σειρές Fourier. Προβλήµατα συνοριακών τιµών για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: θεωρία Sturm-Liouville. Τα βασικά θεωρήµατα του προβλήµατος ιδιοτιµών. Θεµελίωση µέσω τελεστών. Ιδιόµορφα προβλήµατα ιδιοτιµών. Αναπτύγµατα σε πλήρη συστήµατα ιδιοσυναρτήσεων. Σειρές Fourier. (2 εβδομάδες)
3. Οι εξισώσεις κύµατος, Laplace και θερµότητας σε πεπερασµένα χωρία. Η µονοδιάστατη εξίσωση θερµότητας (ψύξη µεταλλικής πλάκας σε λουτρό µηδενικής θερµοκρασίας, αποκατάσταση θερµικής ισορροπίας σε αµφίπλευρα µονωµένο τοίχο). Η διδιάστατη εξίσωση Laplace σε Καρτεσιανές, πολικές συντεταγµένες και η τρισδιάστατη εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες (το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό τετραγώνου, κυλινδρικού πυκνωτή, σφαιρικού πυκνωτή). Η διδιάστατη κυµατική εξίσωση σε Καρτεσιανές, πολικές συντεταγµένες (ταλαντώσεις τετραγωνικού, κυκλικού τυµπάνου). Προβλήµατα µε µη οµογενείς συνοριακές συνθήκες. (3 εβδομάδες)
4. Οι εξισώσεις κύµατος, Laplace και θερµότητας σε άπειρα χωρία. Επέκταση της βασικής θεωρίας σε προβλήµατα ιδιοτιµών µε συνεχές φάσµα. Ο µετασχηµατισµός Fourier. Η εξίσωση θερµότητας σε άπειρο ή ηµιάπειρο διάστηµα. Η συνάρτηση εξέλιξης του θερµοκρασιακού πεδίου. Η κυµατική εξίσωση στο άπειρο επίπεδο. (3 εβδομάδες)
5. Μη οµογενείς διαφορικές εξισώσεις: Συνάρτηση Green. Προβλήµατα συνοριακών τιµών για µη οµογενείς διαφορικές εξισώσεις. Ορισµός και κατασκευή της συνάρτησης Green για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µερικές διαφορικές εξισώσεις. Συναρτήσεις Green σε πεπερασµένα χωρία. (2 εβδομάδες)
6. Ειδικές συναρτήσεις της Μαθηµατικής Φυσικής. Η έννοια της γεννήτριας συνάρτησης και των αναδροµικών σχέσεων. Πολυώνυµα Legendre και υπολογιστικές τεχνικές. (1 εβδομάδα)
2. Θεωρία Sturm-Liouville, σειρές Fourier. Προβλήµατα συνοριακών τιµών για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: θεωρία Sturm-Liouville. Τα βασικά θεωρήµατα του προβλήµατος ιδιοτιµών. Θεµελίωση µέσω τελεστών. Ιδιόµορφα προβλήµατα ιδιοτιµών. Αναπτύγµατα σε πλήρη συστήµατα ιδιοσυναρτήσεων. Σειρές Fourier. (2 εβδομάδες)
3. Οι εξισώσεις κύµατος, Laplace και θερµότητας σε πεπερασµένα χωρία. Η µονοδιάστατη εξίσωση θερµότητας (ψύξη µεταλλικής πλάκας σε λουτρό µηδενικής θερµοκρασίας, αποκατάσταση θερµικής ισορροπίας σε αµφίπλευρα µονωµένο τοίχο). Η διδιάστατη εξίσωση Laplace σε Καρτεσιανές, πολικές συντεταγµένες και η τρισδιάστατη εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες (το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό τετραγώνου, κυλινδρικού πυκνωτή, σφαιρικού πυκνωτή). Η διδιάστατη κυµατική εξίσωση σε Καρτεσιανές, πολικές συντεταγµένες (ταλαντώσεις τετραγωνικού, κυκλικού τυµπάνου). Προβλήµατα µε µη οµογενείς συνοριακές συνθήκες. (3 εβδομάδες)
4. Οι εξισώσεις κύµατος, Laplace και θερµότητας σε άπειρα χωρία. Επέκταση της βασικής θεωρίας σε προβλήµατα ιδιοτιµών µε συνεχές φάσµα. Ο µετασχηµατισµός Fourier. Η εξίσωση θερµότητας σε άπειρο ή ηµιάπειρο διάστηµα. Η συνάρτηση εξέλιξης του θερµοκρασιακού πεδίου. Η κυµατική εξίσωση στο άπειρο επίπεδο. (3 εβδομάδες)
5. Μη οµογενείς διαφορικές εξισώσεις: Συνάρτηση Green. Προβλήµατα συνοριακών τιµών για µη οµογενείς διαφορικές εξισώσεις. Ορισµός και κατασκευή της συνάρτησης Green για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µερικές διαφορικές εξισώσεις. Συναρτήσεις Green σε πεπερασµένα χωρία. (2 εβδομάδες)
6. Ειδικές συναρτήσεις της Μαθηµατικής Φυσικής. Η έννοια της γεννήτριας συνάρτησης και των αναδροµικών σχέσεων. Πολυώνυµα Legendre και υπολογιστικές τεχνικές. (1 εβδομάδα)
Βιβλιογραφία
Σ. Τραχανάς, "Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις", (Κεφάλαια 1, 2, 3, 4, 5, 8), Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης (2015).
Brown, J., Churchill, R., Fourier Series and Boundary Value Problems (5th ed.), McGrawHill (1993).
Ι. Βέργαδος, Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής, ΟΕΔΒ (1986).
Brown, J., Churchill, R., Fourier Series and Boundary Value Problems (5th ed.), McGrawHill (1993).
Ι. Βέργαδος, Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής, ΟΕΔΒ (1986).
