Κωδικός
Φ-501
Επίπεδο
Μεταπτυχιακό
Κατηγορία
Β
Διδάσκων
Γ. Χ. Ψαλτάκης
ECTS
6
Ώρες
5
Εξάμηνο
Εαρινό
Ανοικτό
Ναι
Προσφέρεται
Όχι
Ιστοσελίδα Διδάσκοντα
Σκοπός Μαθήματος
Το μάθημα απευθύνεται σε μεταπτυχιακούς και προχωρημένους προπτυχιακούς φοιτητές και αποτελεί την επέκταση ενός εισαγωγικού μαθήματος Νευτώνιας κλασικής μηχανικής. Πραγματεύεται θέματα που συνιστούν τον κύριο κορμό της μηχανικής, όπως οι εξισώσεις Lagrange, η αρχή του Hamilton, οι εξισώσεις Hamilton, οι κανονικοί μετασχηματισμοί, και η θεωρία Hamilton-Jacobi. Δίνεται έμφαση στις αναλυτικές τεχνικές αλλά και σε χρήσιμες εφαρμογές όπως η κινηματική και δυναμική στερεού σώματος.
Πρόγραμμα
Τρίτη, 11:00-13:00, Αίθουσα Σεμιναρίων 1ου Ορόφου
Πέμπτη, 11:00-13:00, Αίθουσα Σεμιναρίων 1ου Ορόφου
Πέμπτη, 11:00-13:00, Αίθουσα Σεμιναρίων 1ου Ορόφου
Διδακτέα Ύλη
Ανασκόπηση των στοιχειωδών αρχών: Μηχανική ενός σωματιδίου. Μηχανική ενός συστήματος σωματιδίων. Δεσμοί. Πραγματικές μετατοπίσεις και δυνατές μετατοπίσεις. Η αρχή του D' Alembert και οι εξισώσεις Lagrange. Δυναμικά εξαρτώμενα από την ταχύτητα και η συνάρτηση απόσβεσης. Εξισώσεις Lagrange για συστήματα με επιπλέον δεσμούς. Απλές εφαρμογές του Λαγκρανζιανού φορμαλισμού.
Μεταβολικές αρχές και οι εξισώσεις Lagrange: Λογισμός των μεταβολών, οι εξισώσεις Euler. Η αρχή του Hamilton (αρχή της ελάχιστης δράσης). Εξαγωγή των εξισώσεων Lagrange από την αρχή του Hamilton. Επέκταση της αρχής του Hamilton σε συστήματα με επιπλέον ολόνομους δεσμούς. Θεωρήματα διατήρησης και ιδιότητες συμμετρίας, το θεώρημα της Noether. Η συνάρτηση ενέργειας και το θεώρημα διατήρησης της ενέργειας.
Κινηματική στερεού σώματος: Οι ανεξάρτητες συντεταγμένες ενός στερεού σώματος. Μεταφορές και στροφές. Άξονες χώρου και άξονες σώματος. Ο πίνακας στροφής R και το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας ω. Ρυθμός μεταβολής ενός διανύσματος. Το θεώρημα του Euler. Οι γωνίες του Euler (φ,θ,ψ). Έκφραση των R και ω συναρτήσει των γωνιών Euler.
Δυναμική στερεού σώματος: Κινητική ενέργεια και στροφορμή για την κίνηση γύρω από σταθερό σημείο. Τανυστής αδράνειας. Κύριοι άξονες και ιδιοτιμές του τανυστή αδράνειας. Οι εξισώσεις κίνησης του Euler, λύση προβλημάτων στερεού σώματος. Ευστάθεια της περιστροφής γύρω από κύριο άξονα. Κίνηση του βαρύ συμμετρικού στρόβου: ιδιοπεριστροφή, μετάπτωση, κλόνηση.
Οι εξισώσεις Hamilton: Μετασχηματισμοί Legendre και οι εξισώσεις κίνησης του Hamilton. Θεωρήματα διατήρησης και αγνοήσιμες συντεταγμένες. Εξαγωγή των εξισώσεων Hamilton από μια μεταβολική αρχή: η τροποποιημένη αρχή του Hamilton (αρχή της ελάχιστης δράσης).Αγκύλες Poisson. Εξισώσεις κίνησης και θεωρήματα διατήρησης στον φορμαλισμό των αγκυλών Poisson.
Κανονικοί μετασχηματισμοί: Οι εξισώσεις του κανονικού μετασχηματισμού. Παραδείγματα κανονικών μετασχηματισμών. Ο αρμονικός ταλαντωτής. Κανονικοί μετασχηματισμοί και αγκύλες Poisson. Απειροστοί κανονικοί μετασχηματισμοί.
Θεωρία Hamilton-Jacobi και μεταβλητές δράσης-γωνίας: Η εξίσωση Hamilton-Jacobi για την κύρια συνάρτηση του Hamilton. Εφαρμογή της μεθόδου στον αρμονικό ταλαντωτή. Η εξίσωση Hamilton-Jacobi για τη χαρακτηριστική συνάρτηση του Hamilton. Χωρισμός των μεταβλητών στην εξίσωση Hamilton-Jacobi. Μεταβλητές δράσης-γωνίας σε συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας. Μεταβλητές δράσης-γωνίας σε πλήρως διαχωρίσιμα συστήματα.
Μεταβολικές αρχές και οι εξισώσεις Lagrange: Λογισμός των μεταβολών, οι εξισώσεις Euler. Η αρχή του Hamilton (αρχή της ελάχιστης δράσης). Εξαγωγή των εξισώσεων Lagrange από την αρχή του Hamilton. Επέκταση της αρχής του Hamilton σε συστήματα με επιπλέον ολόνομους δεσμούς. Θεωρήματα διατήρησης και ιδιότητες συμμετρίας, το θεώρημα της Noether. Η συνάρτηση ενέργειας και το θεώρημα διατήρησης της ενέργειας.
Κινηματική στερεού σώματος: Οι ανεξάρτητες συντεταγμένες ενός στερεού σώματος. Μεταφορές και στροφές. Άξονες χώρου και άξονες σώματος. Ο πίνακας στροφής R και το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας ω. Ρυθμός μεταβολής ενός διανύσματος. Το θεώρημα του Euler. Οι γωνίες του Euler (φ,θ,ψ). Έκφραση των R και ω συναρτήσει των γωνιών Euler.
Δυναμική στερεού σώματος: Κινητική ενέργεια και στροφορμή για την κίνηση γύρω από σταθερό σημείο. Τανυστής αδράνειας. Κύριοι άξονες και ιδιοτιμές του τανυστή αδράνειας. Οι εξισώσεις κίνησης του Euler, λύση προβλημάτων στερεού σώματος. Ευστάθεια της περιστροφής γύρω από κύριο άξονα. Κίνηση του βαρύ συμμετρικού στρόβου: ιδιοπεριστροφή, μετάπτωση, κλόνηση.
Οι εξισώσεις Hamilton: Μετασχηματισμοί Legendre και οι εξισώσεις κίνησης του Hamilton. Θεωρήματα διατήρησης και αγνοήσιμες συντεταγμένες. Εξαγωγή των εξισώσεων Hamilton από μια μεταβολική αρχή: η τροποποιημένη αρχή του Hamilton (αρχή της ελάχιστης δράσης).Αγκύλες Poisson. Εξισώσεις κίνησης και θεωρήματα διατήρησης στον φορμαλισμό των αγκυλών Poisson.
Κανονικοί μετασχηματισμοί: Οι εξισώσεις του κανονικού μετασχηματισμού. Παραδείγματα κανονικών μετασχηματισμών. Ο αρμονικός ταλαντωτής. Κανονικοί μετασχηματισμοί και αγκύλες Poisson. Απειροστοί κανονικοί μετασχηματισμοί.
Θεωρία Hamilton-Jacobi και μεταβλητές δράσης-γωνίας: Η εξίσωση Hamilton-Jacobi για την κύρια συνάρτηση του Hamilton. Εφαρμογή της μεθόδου στον αρμονικό ταλαντωτή. Η εξίσωση Hamilton-Jacobi για τη χαρακτηριστική συνάρτηση του Hamilton. Χωρισμός των μεταβλητών στην εξίσωση Hamilton-Jacobi. Μεταβλητές δράσης-γωνίας σε συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας. Μεταβλητές δράσης-γωνίας σε πλήρως διαχωρίσιμα συστήματα.
Βιβλιογραφία
1. «Classical Mechanics» – H. Goldstein, C. Poole, and J. Safko (3rd edition, Addison Wesley, San Francisco, 2002).
2. «Analytical Mechanics» – L. N. Hand and J. D. Finch (Cambridge University Press, Cambridge, 1998).
3. «Classical Dynamics: A Contemporary Approach» – J. V. Jose and E. J. Saletan (Cambridge University Press, Cambridge, 1998).
4. «Θεωρητική Μηχανική, Τόμος Β» – Ι. Δ. Χατζηδημητρίου (3η έκδοση, Εκδόσεις Γιαχούδη, Θεσσαλονίκη, 2000).
2. «Analytical Mechanics» – L. N. Hand and J. D. Finch (Cambridge University Press, Cambridge, 1998).
3. «Classical Dynamics: A Contemporary Approach» – J. V. Jose and E. J. Saletan (Cambridge University Press, Cambridge, 1998).
4. «Θεωρητική Μηχανική, Τόμος Β» – Ι. Δ. Χατζηδημητρίου (3η έκδοση, Εκδόσεις Γιαχούδη, Θεσσαλονίκη, 2000).
