Tο µάθηµα απευθύνεται σε δευτεροετείς φοιτητές. Αποτελεί µία εισαγωγή στην αριθµητική ανάλυση µε την ανάπτυξη αριθµητικών τεχνικών και αλγορίθµων για την αντιµετώπιση μαθηματικών προβληµάτων που απαντώνται στη φυσική.
Τρίτη, 9:00-13:00, Αίθουσα 2, Αίθουσα Υπολ. 2
Συστήματα αρίθμησης. Πρότυπα ΙΕΕΕ ακεραίων και πραγματικών αριθμών.Αναπαράσταση αριθμών στον υπολογιστή.
Αριθμητική επίλυση μη γραμμικής εξίσωσης. Ορισμοί - Χρήσιμα Θεωρήματα.Μέθοδοι: διχοτόμησης, ψευδούς σημείου, τέμνουσας, Muller, γενική επαναληπτική μέθοδος (σταθερού σημείου), Ηοuseholder (Newton-Raphson, Halley).
Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Απευθείας μέθοδοι (Απαλοιφή Gauss, LU). Επαναληπτικές μέθοδοι (Gauss-Seidel, Jacobi, SOR). Άλλες μέθοδοι. Εφαρμογές: Υπολογισμός ορίζουσας πίνακα, αντίστροφου πίνακα, ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. Επίλυση μη γραμμικών συστημάτων.
Προσέγγιση συναρτήσεων μιας μεταβλητής/συνόλου σημείων: Παρεμβολήμε πολυώνυμο, με λόγο πολυωνύμων, με πολυώνυμα κατά τμήματα, με spline. Φαινόμενο Runge. Αριθμητική παραγώγιση.
Προσαρμογή ευθείας γραμμής σε πειραματικά δεδομένα με τη μέθοδοEλαχίστων Tετραγώνων. Προσαρμογή πολυωνυμικής, λογαριθμικής και εκθετικής καμπύλης. Συντελεστής γραμμικής συσχέτισης.
Aριθμητική ολοκλήρωση. Kανόνες Tραπεζίου και Simpson. Γενικοί τύποι Newton-Cotes. Mέθοδοι Gauss (Legendre, Hermite, Laguerre, Chebyshev). Μέθοδος Clenshaw–Curtis. Άλλες μέθοδοι.
Aριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Mέθοδοι Euler(explicit/implicit), Taylor, Runge-Kutta 2ης και 4ης τάξης.Επίλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων α' βαθμού.Επίλυση διαφορικών εξισώσεων ανώτερου βαθμού.
Άλλα θέματα (ενδεικτικά: FFT, εύρεση ακρότατων συνάρτησης, κ.α.).
Γραμματικάκης Μ., Κοπιδάκης Γ., Παπαδάκης Ν., Σταματιάδης Σ.- Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, Σημειώσεις Διαλέξεων και Εργαστηρίων http://www.edu.physics.uoc.gr/~tety213/notes.pdf
Forsythe G.E., Malcom M.A., Moler C.B.- Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγράµµατα για Μαθηµατικούς Υπολογισµούς [ΠΕΚ]
Ακρίβης Γ.Δ., Δουγαλής Β.Α.- Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση [ΠΕΚ]
