Διαφορικές Εξισώσεις Ι

1. Απλές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως: Εισαγωγικές έννοιες. Το πρόβληµα των αρχικών τιµών. Η έννοια της γενικής λύσης µιας ΔΕ. Διαχωρίσιµες εξισώσεις, οµογενείς εξισώσεις, γραµµικές εξισώσεις πρώτης τάξεως. (Εξισώσεις Bernoulli και Ricatti.) Ακριβείς εξισώσεις και ολοκληρωτικοί παράγοντες. Απλές εφαρµογές. (2 εβδοµάδες)
2. Απλές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως: Γραµµικές εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές. Μη οµογενείς εξισώσεις µε απλά δεύτερα µέλη. Η µέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών. Εξισώσεις Euler. (2 εβδοµάδες)
3. H εξίσωση του Νεύτωνα: Εφαρµογές στα βασικά προβλήµατα της Μηχανικής. Κίνηση µε διάφορους νόµους τριβής στο οµογενές πεδίο βαρύτητας. Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση µε ή χωρίς τριβή. Εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση µε ή χωρίς τριβή. Κίνηση µε ή χωρίς τριβή σ’ ένα τυχόν µονοδιάστατο πεδίο δυνάµεων. Ηλεκτρικά ανάλογα των µηχανικών προβληµάτων. (2 εβδοµάδες)
4. Γενική µελέτη των γραµµικών διαφορικών εξισώσεων: Η αρχή της επαλληλίας. Γραµµική ανεξαρτησία και εξάρτηση. Η βρονσκιανή και οι χρήσεις της. Ο τύπος του Abel. Υπολογισµός της δεύτερης λύσης όταν η µία είναι ήδη γνωστή. Ελάττωση τάξης. Πλήρης λύση της µη οµογενούς όταν οι λύσεις της οµογενούς είναι γνωστές. Μέθοδος μετασχηματισμού Laplace για επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές (3 εβδοµάδες)
5. Συστήµατα γραµµικών διαφορικών εξισώσεων µε σταθερούς συντελεστές: Η µέθοδος της απαλοιφής και η µέθοδος της εκθετικής αντικατάστασης. Εφαρµογές σε προβλήµατα συζευγµένων ταλαντώσεων και ηλεκτρικών κυκλωµάτων. Μέθοδοι λύσης µε χρήση µητρών. (Η µέθοδος του τελεστή εξέλιξης.) (2 εβδοµάδες)
6. Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις µε µεταβλητούς συντελεστές: Η µέθοδος των δυναµοσειρών. Από την σειρά Taylor στη σειρά Frobenius. Συνήθη και ιδιόµορφα σηµεία. Το θεώρηµα του Fuchs. Εφαρµογή στις εξισώσεις Bessel, Legendre, Hermite. (2 εβδοµάδες)